Question

5．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（側(cè)棱垂直于底面的四棱柱為直四棱柱），底面四邊形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1，且AD=$\sqrt{2}$AA₁=2．
（1）求證：平面CDD₁C₁⊥平面ACD₁；
（2）求三棱錐A₁-ACD₁的體積．

Answer 1

分析 （1）在底面四邊形ABCD內(nèi)過C作CE⊥AD于E，由已知求得AC=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，則AC²+DC²=AD²，得AC⊥CD．再由題意知CC₁⊥平面ABCD，從而AC⊥CC₁，由線面垂直的判定可得AC⊥平面CDD₁C₁，進一步得到平面CDD₁C₁⊥平面ACD₁；
（2）由三棱錐A₁-ACD₁與三棱錐C-AA₁D₁是相同的，利用等積法求出三棱錐C-AA₁D₁的體積即可．

解答 （1）證明：在底面四邊形ABCD內(nèi)過C作CE⊥AD于E，
由底面四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，以及AD=2，可得AC=$\sqrt{2}$，CE=1，
則CD=$\sqrt{2}$，
∴AC²+DC²=AD²，得AC⊥CD．
又由題意知CC₁⊥平面ABCD，從而AC⊥CC₁，而CC₁∩CD=C，∴AC⊥平面CDD₁C₁，
又AC?平面ACD₁，
∴平面CDD₁C₁⊥平面ACD₁；
（2）解：∵三棱錐A₁-ACD₁與三棱錐C-AA₁D₁是相同的，
故只需求三棱錐C-AA₁D₁的體積即可，
而CE⊥AD，且由AA₁⊥平面ABCD，可得CE⊥AA₁，
又∵AD∩AA₁=A，∴有CE⊥平面ADD₁A₁，即CE為三棱錐C-AA₁D₁的高．
故${V_{{A_1}-AC{D_1}}}={V_{C-A{A_1}{D_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•A{A_1}•{A_1}{D_1}•CE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×1=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．