Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：

AP

PC

=

FA

AB

；
（2）若⊙O的直徑AB=

5

+1，求tan∠CPE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由弦切角定理得∠CAP=∠APC，又∠C=∠C，從而△APC∽△FAC，由此能證明

AP

PC

=

FA

AB

．
（2）由切割線定理得AC²=CP•CF=CP（CP+PF），由PF=AB=AC=2，得CP=

5

-1，由此能求出tan∠CPE=tan∠F=

5 -1

2

．

解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，
∴∠CAP=∠APC，
又∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴

AP

AF

=

PC

AC

=

PC

AB

，
∴

AP

PC

=

FA

AB

．
（2）解：∵AC切⊙O于點(diǎn)A，CPE為⊙O的割線，
則AC²=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，
解得CP=-1±

5

，∵CP＞0，∴CP=

5

-1，
∵∠OAF=∠F，∠B=∠F，
∴OAF=∠B，∴FA∥BE，∴∠CPE=∠F，
∵FP為直徑，∴∠FAP=90°，
由（1）得

AP

FA

=

PC

AC

，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=

AP

FA

=

PC

AC

=

5 -1

2

．
∴tan∠CPE=tan∠F=

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段比值相等的證明，考查角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意弦切角定理和切割線定理的合理運(yùn)用．