Question

設(shè)橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)。

    （Ⅰ）求橢圓M的方程；

（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小

值。

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓M的方程為

（2）當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1時(shí)，|AB|+|CD|有最小值是

【解析】解：（Ⅰ）所求橢圓M的方程為…3分

    （Ⅱ）當(dāng)≠，設(shè)直線AB的斜率為k = tan，焦點(diǎn)F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為 y = k ( x – 3 )        有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) = 0

        設(shè)點(diǎn)A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )    有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

        |AB| =      

又因?yàn)?i>k = tan=代入**式得 |AB| =

        當(dāng)=時(shí)，直線AB的方程為x = 3，此時(shí)|AB| =

        而當(dāng)=時(shí)，|AB| ==        |AB| =

        同理可得    |CD| ==

        有|AB| + |CD| =+=

        因?yàn)閟in2∈[0，1]，所以當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1時(shí)，|AB|+|CD|有最小值是