Question

有六節(jié)電池，其中有2節(jié)沒(méi)電，4節(jié)有電，每次隨機(jī)抽取一個(gè)測(cè)試，不放回，直至分清楚有電沒(méi)電為止，
（Ⅰ）求“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電的情況下第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”的概率．
（Ⅱ）所要測(cè)試的次數(shù)ξ為隨機(jī)變量，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：設(shè)事件A=“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電”，B=“第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”，由題設(shè)條件知P(A)=

4

6

×

2

5

+

2

6

×

1

5

=

1

3

，P(A∩B)=

4

6

×

2

5

×

1

4

=

1

15

，再由條件概率公式能求出“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電的情況下第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”的概率．
法二：設(shè)A=“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電的情況下第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”，結(jié)合題設(shè)條件利用古典概型能夠求出“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電的情況下第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3，4，5，P(ξ=2)=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

，P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 4 A 2 2

A 3 6

=

2

15

，P(ξ=4)=

A 4 4

A 4 6

+

C 1 2 C 2 4 A 3 3

A 4 6

=

1

15

+

1

5

=

4

15

，P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

+

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

=

8

15

，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）解法一：
設(shè)事件A=“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電”，
B=“第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”，
則P(A)=

4

6

×

2

5

+

2

6

×

1

5

=

1

3

，
P(A∩B)=

4

6

×

2

5

×

1

4

=

1

15

，（2分）
所以P(B|A)=

P(A∩B)

P(A)

=

1

5

．（4分）
解法二：設(shè)A=“第二次測(cè)出的電池沒(méi)電的情況下第三次測(cè)出的電池也沒(méi)電”，
則P(A)=

A 2 2 A 4 4

C 1 2 A 5 5

=

1

5

（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3，4，5，
P(ξ=2)=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

，
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 4 A 2 2

A 3 6

=

2

15

，
P(ξ=4)=

A 4 4

A 4 6

+

C 1 2 C 2 4 A 3 3

A 4 6

=

1

15

+

1

5

=

4

15

，
P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

+

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

=

8

15

，（8分）
∴分布列為

ξ	2	3	4	5
P	1 15	2 15	4 15	8 15

（10分）
Eξ=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

4

15

+5×

8

15

=

64

15

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型和條件概率的求法，考查離散型隨機(jī)就是的期望和方差．理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決概率的計(jì)算問(wèn)題．易錯(cuò)點(diǎn)是審題不全面，導(dǎo)致出錯(cuò)．