Question

已知全集U=R，A={x|

3

x-4

＜-1}，非空集合B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}．
（1）當(dāng)a=2時，求（∁_UA）∩B：
（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,交、并、補(bǔ)集的混合運算

專題：簡易邏輯

分析：（1）當(dāng)a=2時，求出集合B，根據(jù)集合的基本運算即可求（∁_UA）∩B：
（2）根據(jù)命題充分條件和必要條件的定義和關(guān)系，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）A={x|

3

x-4

＜-1}={x|

3

x-4

+1=

x-1

x-4

＜0}={x|1＜x＜4}，
當(dāng)a=2時，B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}={x|x²-9x+14≤0}={x|2≤x≤7}．
則∁_UA={x|x≥4或x≤1}，
則（∁_UA）∩B={x|4≤x≤7}．
（2）∵p是q的必要條件，
∴B⊆A，
由B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}．
①若3a+1≥2，即a≥

1

3

，此時B={x|2≤x≤3a+1}
∵A={x|1＜x＜4}，B⊆A，
∴此時滿足3a+1＜4，即

1

3

≤a＜1，
②若3a+1＜2，即a＜

1

3

，此時B={x|3a+1≤x≤2}
∵A={x|1＜x＜4}，B⊆A，
∴此時滿足3a+1≥1，即0≤a＜

1

3

，
綜上0≤a＜1，
即實數(shù)a的取值范圍0≤a＜1．

點評：本題主要考查集合的基本運算以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．