Question

曲線都是以原點O為對稱中心、坐標(biāo)軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點M的坐標(biāo)是（0,1）,線段MN是曲線的短軸，并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點（A在D的左側(cè)），與曲線交于B,C兩點（B在C的左側(cè)）．

（1）當(dāng)=，時，求橢圓的方程；

（2）若，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）C₁ ,C₂的方程分別為，；（2） ．

【解析】

試題分析：（1）解：設(shè)曲線C₁的方程為,C₂的方程為（）…2分

∵C₁ ,C₂的離心率相同，∴,∴，               3分

令代入曲線方程，則 .

當(dāng)=時，A,C．……………5分

又∵,.由，且，解得      6分

∴C₁ ,C₂的方程分別為，．        7分

（2）令代入曲線方程，，得  ，得   9分

由于，所以(-,m),(,m) ．        10分

由于是曲線的短軸，所以.

∵OC⊥AN，（）.                 11分

∵=（,m），=（,-1-m)，

代入（）并整理得2m²+m-1=0，                     12分

∴或(舍負) ，∴ ．          14分

考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運算。

點評：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0，確定得到m的方程。