Question

8．已知對任意x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，冪函數(shù)$f（x）={x^{-\frac{p^2}{2}+p+\frac{3}{2}}}$（p∈Z），滿足f（x₁）＜f（x₂），并且對任意的x∈R，f（x）-f（-x）=0．
（1）求p的值，并寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對于（1）中求得的函數(shù)f（x），設(shè)g（x）=-qf（x）+（2q-1）x+1，問：是否存在負(fù)實(shí)數(shù)q，使得g（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)，且在[-4，+∞）上是增函數(shù)？若存在，求出q的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得出．
（2）g（x）=-qf（x）+（2q-1）x+1=-qx²+（2q-1）x+1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得知，函數(shù)是增函數(shù)，$-\frac{p^2}{2}+p+\frac{3}{2}＞0$，得到p在（-1，3）之中取值，再由f（x）-f（-x）=0，可知f（x）為偶函數(shù)，那么p從0，1，2三個數(shù)驗(yàn)證，
得到p=1為正確答案，則f（x）=x²．
（2）g（x）=-qf（x）+（2q-1）x+1=-qx²+（2q-1）x+1，若存在負(fù)實(shí)數(shù)q，使得g（x）在（-∞，-4）上是減函數(shù)，且在[-4，+∞）上是增函數(shù)，則對稱軸$x=\frac{2q-1}{2q}=-4$，$q=\frac{1}{10}$與q＜0不符，
故不存在符合題意的q．

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于單調(diào)性題．