Question

定義R在上的函數(shù)f（x）為，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m）•f（n）=f（m+n），且f（0）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1則：（1）f（0）=

1

．（2）當(dāng)x＜0時(shí)，1-f（x）

＜

0．（填≤，≥，＜，＞）

Answer 1

分析：由題意，定義R在上的函數(shù)f（x）為，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m）•f（n）=f（m+n），且f（0）≠0，（1）可采取賦值的方法，令m=n=0，建立f（0）的方程求出它的值，（2）由于x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，可令m＞0，n=-m，代入恒等式研究m的函數(shù)值的取值范圍，再作出判斷得到答案

解答：解：（1）由題意，令m=n=0，則有f（0）•f（0）=f（0），
又f（0）≠0，所以f（0）=1，
故答案為：1
（2）取m＜0，n=-m，代入恒等式得f（m）•f（-m）=f（0）=1，
又x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，所以有0＜f（-m）＜1
由上f（m）•f（-m）=1
所以f（m）=

1

f(-m)

＞1，即當(dāng)x＜0時(shí)有f（x）＞1，
所以有x＜0時(shí)，1-f（x）＜0
故答案為：＜

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，正確解答本題，理解函數(shù)所滿足的恒等式是關(guān)鍵，解答此類題，一般采用賦值的方法，這需要較高的觀察判斷能力，能根據(jù)恒等式與所求的值作出判斷，找到恰當(dāng)?shù)漠?dāng)?shù)馁x值方法，在第一小題中，令m=n=0，可得到f（0）的方程，在第二小題中要借助x＞0時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，研究x＜0時(shí)函數(shù)值的取值范圍，故采取了取m＜0，n=-m的策略，以方便研究互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量的函數(shù)值的關(guān)系，從而達(dá)到研究自變量小于0時(shí)函數(shù)值取值范圍的目的，做題時(shí)要注意此類技巧的使用，這是間接法在做題中重要的應(yīng)用方式．