Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）對一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），解不等式f[log

1

2

(x2+x+

1

2

)]＜f[log

1

2

(2x2-x+

5

8

)]

Answer 1

分析：先由題中條件：“f（2+x）=f（2-x），”得出二次函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性，再利用單調(diào)性去掉符號“f“，鈄原不等式轉(zhuǎn)化成對數(shù)不等式，最終轉(zhuǎn)化成整式不等式解決即可．

解答：解：∵對一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）的對稱軸是：x=2，
又a＜0，
∴f（x）在（-∞，2]上遞增，
∵log

1

2

(x2+x+

1

2

)=log

1

2

[(x+

1

2

)2+

1

4

]≤2，
log

1

2

(2x2-x+

5

8

)=log

1

2

[2(x-

1

4

)2+

1

2

]≤1，
又f（x）在（-∞，2]上遞增，
由原不等式，得：
log

1

2

(x2+x+

1

2

)＜log

1

2

(2x2-x+

5

8

)?

x2+x+ 1 2 ＞0 2x2-x+ 5 8 ＞0 x2+x+ 1 2 ＞2x2-x+ 5 8

?1-

14

4

＜x＜1+

14

4

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次不等式的解法、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．