Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，4]，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若該函數(shù)在（-∞，4]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，求出函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出函數(shù)圖象的對稱軸，利用函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，4]，確定對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，進(jìn)而求出a值；
（3）求出函數(shù)圖象的對稱軸，利用函數(shù)在（-∞，4]上單調(diào)遞減，確定對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，進(jìn)而求出a值；

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2=x²+2x+2，
其圖象是開口朝上且以直線x=-1為對稱軸的拋物線；
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，在[-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2的圖象是開口朝上且以直線x=1-a為對稱軸的拋物線；
故函數(shù)f（x）在（-∞，1-a]上單調(diào)遞減，
又由函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，4]，
則1-a=4，
解得a=-3；
（3）由（2）得函數(shù)f（x）在（-∞，1-a]上單調(diào)遞減，
又由函數(shù)f（x）在（-∞，4]上單調(diào)遞減，
∴（-∞，4]⊆（-∞，1-a]，
∴1-a≥4，
解得a≤-3．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)對稱軸和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．