Question

如圖，五面體ABCDE中，正△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．
（I）設(shè)CE與平面ABE所成的角為α，AE=k（k＞0），若，求k的取值范圍；
（Ⅱ）在（I）和條件下，當(dāng)k取得最大值時(shí)，求平面BDE與平面ABC所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，確定平面ABE的一個(gè)法向量，利用CE與平面ABE所成的角，且，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k最大值為，則當(dāng)時(shí)，求出平面BDE法向量，平面ABC法向量為=（0，0，1），利用夾角公式，即可求得平面BDE與平面ABC所成角大�。�
解答：解：（Ⅰ）如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CD為y、z軸，垂直于CA、CD的直線CT為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則設(shè)A（0，1，0），，E（0，1，k），．
取AB的中點(diǎn)M，則，則平面ABE的一個(gè)法向量為，
由題意．
由，則，
得．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k最大值為，則當(dāng)時(shí)，設(shè)平面BDE法向量為=（x，y，z），則
取，又平面ABC法向量為=（0，0，1），…10分
所以cos＜，＞=，
所以平面BDE與平面ABC所成角大小．…12分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，正確運(yùn)用向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．