Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，對(duì)任意的n∈N*，定義b_n=a_n+1-a_n，
（Ⅰ）若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0），
（�。┊�(dāng)a=1，b=2時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前3n項(xiàng)和；
（ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求證：數(shù)列{a_n}中任意一項(xiàng)的值均不會(huì)在該數(shù)列中出現(xiàn)無(wú)數(shù)次。

Answer 1

（Ⅰ）解：，
；
（Ⅱ）（�。┙猓阂�?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111220/201112201457159371070.gif">，
所以，對(duì)任意的n∈N*有，
即數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6；
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項(xiàng)分別為，且這六個(gè)數(shù)的和為7；
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
；
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知：對(duì)任意的n∈N*有，
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項(xiàng)分別為，且這六個(gè)數(shù)的和為，
設(shè)，（其中i為常數(shù)且），
所以，
所以，數(shù)列均為以為公差的等差數(shù)列；
因?yàn)閎＞0時(shí)，，b＜0時(shí)，，
所以{}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項(xiàng)的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次，
所以數(shù)列中任意一項(xiàng)的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，
即任意一項(xiàng)的值不會(huì)在此數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次。