Question

設(shè)橢圓C：（a＞b＞0）過點(diǎn)，且離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A（2，0）的動直線AB交橢圓于點(diǎn)M、N，（其中點(diǎn)N位于點(diǎn)A、B之間），且交直線l：x=8于點(diǎn)B（如圖）．證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，得，故可設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得m=1．由此得到所求橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），要證原等式成立，只要證??5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．
解答：解：（Ⅰ） 由已知，得 ，故可設(shè)所求橢圓方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得 m=1．
∴所求橢圓C的方程為：；（5分）
（Ⅱ） 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
要證原等式成立，只要證??5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．①（8分）
以下證明①式成立．
證明：設(shè)MB：y=k（x-2），由⇒（9+16k²）x²-64k²x+64k²-144=0
由韋達(dá)定理，得 ，，（11分）
∴=
于是，①式得證．
∴．（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和證明．解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用和分析法證明的靈活運(yùn)用．