Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.

（Ⅰ）求四棱錐P—ABCD的體積；

（Ⅱ）證明PA⊥BD.

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，則PE⊥AD. 作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結(jié)OE. 根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD， 所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成的二面角的平面角， 由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=3，四棱錐P—ABCD的體積 VP—ABCD= （Ⅱ）解法一：如圖1，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.通過(guò)計(jì)算可得 P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0） 所以 因?yàn)?img align="absmiddle" width=180 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0205/0096/e1a6f9233104873a3b901f232b4b4b0e/C/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> 所以PA⊥BD. 解法二：如圖2，連結(jié)AO，延長(zhǎng)AO交BD于點(diǎn)F.通過(guò)計(jì)算可得EO=3，AE=2， 又知AD=4，AB=8， 得 所以  Rt△AEO∽R(shí)t△BAD. 　　    得∠EAO=∠ABD. 　　    所以∠EAO+∠ADF=90°    所以  AF⊥BD.    因?yàn)?nbsp; 直線AF為直線PA在平面ABCD 內(nèi)的身影，所以PA⊥BD.