Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax-a），其中a是常數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在實數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（1）=e，f′（1）=4e，由點斜式可求得y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ） 令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，可解得x=-（a+2）或x=0，對-（a+2）與0的大小關(guān)系分類討論，可求得關(guān)于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根的k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax-a）可得，
f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]，．…（2分）
當a=1時，f（1）=e，f′（1）=4e．…（4分）
所以 曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=4e（x-1），
即y=4ex-3e．…（5分）
（Ⅱ） 令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，
解得x=-（a+2）或x=0．…（6分）
當-（a+2）≤0，即a≥-2時，在區(qū)間[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)．
所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有兩個不相等的實數(shù)根．…（8分）
當-（a+2）＞0，即a＜-2時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	-a	↘	a+4 ea+2	↗

由上表可知函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（-（a+2））=

a+4

ea+2

．…（10分）
因為 函數(shù)f（x）是（0，-（a+2））上的減函數(shù)，是（-（a+2），+∞）上的增函數(shù)，
且當x≥-a時，有f（x）≥e^-a（-a）＞-a．…（11分）
所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根，k的取值范圍必須是（

a+4

ea+2

，-a]．…（13分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，突出考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查綜合分析與綜合運算的能力，屬于難題．