設(shè)f(x)=log2
x
1-x
+1，an=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…f(
n-1
n
)，n∈N•，則a2011=
 
．
分析：先求出f（1-x），注意到f（x）+f（1-x）=2，然后利用倒序相加法進(jìn)行求解即可求出所求．
解答：解：因?yàn)?span id="oryfu0n" class="MathJye">f(x)=log2
x
1-x
+1，所以f(1-x)=log2
1-x
x
+1，
∴f（x）+f（1-x）=2
又因?yàn)?span id="ducwtde" class="MathJye">an=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…f(
n-1
n
)，n∈N•，
∴a2011=f（
1
2011
）+f（
2
2011
）+…+f（
2010
2011
）
a2011=f（
2010
2011
）+f（
2009
2011
）…+f（
1
2011
）
將上述兩式相加得2a2011=2×2010
∴a2011=2010
故答案為：2010
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合題，以及數(shù)列求和中的倒序相加法，屬于難題，往往想不到就無(wú)法下手．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f(x)=log2(1-2x)
（1）指出f（x）的單調(diào)性，說(shuō)明理由；
（2）求F（x）=4x-2f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換．
（1）判斷下列函數(shù)x=g（t）是不是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換？說(shuō)明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t2-2t+3，t∈R；
②f（x）=x2-x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at2+2t+1，若函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

設(shè)f(x)=log2+log2(x－1)+log2(p－x)，

（1）求函數(shù)f(x)的定義域；

（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，請(qǐng)把它求出來(lái)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

設(shè)f(x)=log2+log2(x－1)+log2(p－x)，

（1）求函數(shù)f(x)的定義域；

（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，請(qǐng)把它求出來(lái)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f(x)=log2,F(x)=+f(x). 

(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；

(2)若f(x)的反函數(shù)為f－1(x),證明: 對(duì)任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f－1(n)>;

(3)若F(x)的反函數(shù)F－1(x),證明: 方程F－1(x)=0有惟一解.

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