Question

設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點(diǎn)A，且=2．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₁，F(xiàn)₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），當(dāng)直線MN的傾斜角為60°時(shí)，試求四邊形DMEN面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓的交點(diǎn)得到c的值，根據(jù)向量之間的關(guān)系，求出a，b的值，根據(jù)所得的字母系數(shù)的值，寫出橢圓的方程．
（II）根據(jù)直線的傾斜角得到直線的斜率，根據(jù)直線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，做出MN的長(zhǎng)度和DE的長(zhǎng)度，根據(jù)四邊形兩條對(duì)角線垂直，做出面積．
解答：解：（I）由題意，|F₁F₂|=2c=2，
∴A（a²，0）
∵=2．
∴F₂為AF₁的中點(diǎn)
∴a²=3，b²=2
即橢圓方程為
（II）直線MN的傾斜角為60°，直線的斜率是
∴直線的方程是y=（x-1）
直線與橢圓的方程聯(lián)立得到11x²-18x+3=0
∴弦長(zhǎng)是=
同理求出弦DE的長(zhǎng)
∵四邊形的兩條對(duì)角線垂直，
∴四邊形的面積是=
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和弦長(zhǎng)公式，本題解題的關(guān)鍵是直線與橢圓的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出弦長(zhǎng)公式．