如圖，已知三棱錐P—ABC的三條側棱兩兩垂直，P在底面ABC內(nèi)的射影為H，求證：△APB的面積是△ABC和△AHB的面積的比例中項.

證明:∵PA、PB、PC兩兩垂直，∴H為△ABC的垂心.連結CH并延長交AB于D，連結PD，由三垂線定理知PD⊥AB.

由條件知，PC⊥面ABP，∴PC⊥PD.

在Rt△CPD中，由射影定理，得PD2=CD·HD.

∴AB2·PD2=AB·CD·AB·HD，

即S△APB2=S△ABC·S△AHB.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，D是AB的中點，且PA=1，AN=BN=CN=
2
．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）求異面直線CD與PB所成角的大��；
（3）求點A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2
2
．
（1）畫出側視圖并求側視圖的面積；
（2）求三棱錐P-ABC體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC的側面PAB是等邊三角形，D是AB的中點，PC=BC=AC=2，PB=2
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．
（1）證明：AB⊥平面PCD；
（2）求點C到平面PAB的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點，M為PB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，底面△ABC是邊長為4
2
的等邊三角形，又PA=PB=2
6
，PC=2
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（I）證明平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

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