Question

雙曲線

x2

4

-

y2

b2

=1(b∈N)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|＜5，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列，則b²=

1

．

Answer 1

分析：通過等比數(shù)列雙曲線的定義，余弦定理推出：|OP|²=20+3b²．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值．

解答：解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16…①
設(shè)∠POF₁=θ，則∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化簡(jiǎn)得：|OP|²=8+3c²=20+3b²．
因?yàn)閨OP|＜5，b∈N，所以20+3b²＜25．
所以b=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，余弦定理以及等比數(shù)列的應(yīng)用，是有難度的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力．