Question

11．橢圓的對稱中心在坐標原點，一個頂點為A（0，2），右焦點F與點$B（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$的距離為2，
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率k≠0的直線l：y=kx-2與橢圓相交于不同的兩點M，N滿足|AM|=|AN|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓的標準方程，由題意得b=2，再由a、b、c之間的關(guān)系及|FB|=2，求出a²=12，從而得到橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在直線l，則點A在線段MN的垂直平分線上，把直線l的方程代入橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由題意知判別式大于0，設(shè)出M、N的坐標，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用斜率表示MN的中點P的坐標，求出AP的斜率，由AP⊥MN，斜率之積等于-1，求出直線l的斜率

解答 解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （ a＞b＞0 ），則其右焦點坐標為F（c，0），c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，
由|FB|=$\sqrt{（c-\sqrt{2}）^{2}+2}=2$解得c=2$\sqrt{2}$，又∵b=2，∴a²=c²+b²=12，即橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上，
把y=kx-2代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．消去y得x²+3（kx-2）²=12，
即（1+3k²）x²-12kx=0
由k≠0，得方程的△=（-12k）²=144k²＞0，即方程有兩個不相等的實數(shù)根．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}=\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，∴y₀=kx₀-2=$\frac{-2}{1+3{k}^{2}}$，即P（$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2}{1+3{k}^{2}}$），
∵k≠0，∴直線AP的斜率為k1=$\frac{-6{k}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$，由AP⊥MN，得$\frac{-6{k}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}×k=-1$．
∴2+2+6k²=6，解得：k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴存在直線l滿足題意，直線l的方程y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．

點評 本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標注方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩直線垂直的性質(zhì)，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于壓軸題．