Question

已知ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=1，BC=2，E為PC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）能否在BC上找到一點(diǎn)F，使EF⊥CD？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)F的位置，若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）求證：平面PCB⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：D（0，1，0）P（0，0，1），C（1，2，0），根據(jù)題意即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）假設(shè)能在BC上找到一點(diǎn)F，使EF⊥CD，設(shè)F（1，t，0），分別寫出直線EF與CD所在的向量，利用向量的數(shù)量積為0，即可求出t的值．
（3）利用向量的數(shù)量積為0可得EF⊥PC，再證明線面垂直，進(jìn)而證明面面垂直．

解答：解：（1）由題意可得：D（0，1，0）P（0，0，1），C（1，2，0），
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴E（

1

2

，1，

1

2

）（2分）
（2）設(shè)能在BC上找到一點(diǎn)F，使EF⊥CD，設(shè)F（1，t，0），
則

EF

=(

1

2

，t-1，-

1

2

)，并且

CD

=(-1，-1，0)，
∵EF⊥CD，
∴

EF

•

CD

=-

1

2

+1-t=0，
∴t=

1

2

，即存在點(diǎn)F(1，

1

2

，0)滿足要求．（5分）
（3）∵

PC

=（1，2，-1）
∴

EF

•

PC

=(

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)•(1，2，-1)=0，
∴EF⊥PC（6分）．
由（2）知：EF⊥CD，因?yàn)镻C∩CD=C，
所以EF⊥平面PCD，
又∵EF?平面PCB，（7分）
∴平面PCB⊥平面PCD．（8分）

點(diǎn)評(píng)：利用空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量與平面的法向量，進(jìn)而將空間線線的垂直問題，及線面的垂直問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．