Question

5位員工甲、乙、丙、丁、戊參加單位的技能測(cè)試，已知他們測(cè)試合格的概率分別是

3

4

，

1

2

，

2

3

，

2

3

，

2

3

．
（Ⅰ）求他們中恰好有一人通過(guò)測(cè)試的概率；
（Ⅱ）求他們中恰好有兩人通過(guò)測(cè)試且甲、乙兩人不都通過(guò)測(cè)試的概率．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的概率不同，甲、乙通過(guò)測(cè)試分別為A、B，丙、丁、戊三人通過(guò)測(cè)試是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三人中有k人通過(guò)測(cè)試的概率，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率得到結(jié)果．
（II）恰好有兩人通過(guò)測(cè)試且甲、乙兩人不都通過(guò)包括三種情況，這三種情況之間是互斥關(guān)系，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）記甲、乙通過(guò)測(cè)試分別為A、B，丙、丁、戊三人通過(guò)測(cè)試是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三人中有k人通過(guò)測(cè)試的概率為P3(k)=

C

k 3

(

2

3

)k(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3．
他們中恰有一人通過(guò)測(cè)試的概率為P(

.

A

•B+A•

.

B

)•P3(0)+P(

.

A

•

.

B

)•P3(1)=(

1

4

•

1

2

+

3

4

•

1

2

)(

1

3

)3+(

1

4

•

1

2

)

C

1 3

•

2

3

•(

1

3

)2=

5

108

．
答：他們中恰有一人通過(guò)測(cè)試的概率為

5

108

．
（Ⅱ）他們中恰好有兩人通過(guò)測(cè)試且甲、乙兩人不都通過(guò)測(cè)試的概率為
P（

.

A

?B+A?

.

B

）?P₃（1）+P（

.

A

?

.

B

）?P₃（2）=（

1

4

?

1

2

+

3

4

?

1

2

）C

1

3

?

2

3

?（

1

3

）²+（

1

4

?

1

2

）C（

2

3

）²?

1

3

=

1

6

．
答：他們中恰好有兩人通過(guò)測(cè)試且甲、乙兩人不都通過(guò)測(cè)試的概率為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：考查相互獨(dú)立事件的概率與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率．本題完全可以只看作是相互獨(dú)立事件的概率問(wèn)題，考慮到丙、丁、戊三人測(cè)試合格的概率相同，可以看作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算．本題要求學(xué)生對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有良好的理解．