Question

（2013•陜西）在一場娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手（1至5號）登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手．
（Ⅰ） 求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）設(shè)事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，觀眾甲選中3號歌手的概率為

2

3

，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1-

3

5

=

2

5

，利用互斥事件的概率公式，即可求得結(jié)論；
（II）由題意，X可取0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，
觀眾甲選中3號歌手的概率為

2

3

，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1-

3

5

=

2

5

，
∴P（A）=

2

3

×(1-

3

5

)=

4

15

，
∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為

4

15

；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取0，1，2，3．
觀眾甲選中3號歌手的概率為

2

3

，觀眾乙選中3號歌手的概率為

3

5

，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=0，P（X=0）=（1-

2

3

）（1-

3

5

）²=

4

75

，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙只有一人選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=1，
P（X=1）=

2

3

（1-

3

5

）²+（1-

2

3

）

3

5

（1-

3

5

）+（1-

2

3

）（1-

3

5

）

3

5

=

20

75

，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙只有二人選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=2，
P（X=2）=

2

3

•

3

5

（1-

3

5

）+（1-

2

3

）

3

5

•

3

5

+

2

3

（1-

3

5

）

3

5

=

33

75

，
當(dāng)觀眾甲、乙、丙都選中3號歌手時(shí)，這時(shí)X=3，
P（X=3）=

2

3

•（

3

5

）²=

18

75

，
X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	4 75	20 75	33 75	18 75

∴數(shù)學(xué)期望EX=0×

4

75

+1×

20

75

+2×

33

75

+3×

18

75

=

28

15

．

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率．