Question

如右圖已知每條棱長都為3的四棱柱ABCD-ABCD中，底面是菱形，BAD=60°，D B⊥平面ABCD,長為2的線段MN的一個端點(diǎn)M在DD上運(yùn)動，另一個端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動，則MN中點(diǎn)P的軌跡與此四棱柱的面所圍成的幾何體的體積為 _____________

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：

取AB的中點(diǎn)E連接DE，由題意知DE⊥AB，DE⊥CD

以DE所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以所在直線為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系

設(shè)M（0，0，z），N（x，y，0），則P,

∴

∴

∴

即OP=1

∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)D為球心，以1為半徑的球的一部分

又∵∠BAD=60°

∴∠ADC=120°

∴點(diǎn)P的軌跡是球的,

∴幾何體的體積為

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．

點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積，須先用代數(shù)法確定點(diǎn)的軌跡，然后熟練應(yīng)用體積公式即可,屬中檔題.