Question

如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，點N為B1C1的中點，點P在棱A1C1上運動．

(1)試問點P在何處時，AB∥平面PNC，并證明你的結(jié)論；

(2)在(1)的條件下，若AA1<AB，直線B1C與平面BCP所成角的正弦值為，求二面角A－BP－C的大小.

Answer 1

(1)當(dāng)點P為A1C1的中點時，AB∥平面PNC.

∵P為A1C1的中點，N為B1C1的中點，∴PN∥A1B1∥AB

∵AB⊄平面PNC，PN⊂平面PNC，∴AB∥平面PNC.

(2)設(shè)AA1＝m，則m<2，∵AB、BC、BB，兩兩垂直，

∴以B為原點，BA、BC，BB1為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)，

∴P(1,1，m)，設(shè)平面BCP的法向量n＝(x，y，z)，

則由n·＝0，n·＝0，解得y＝0，x＝－mz，

令z＝0，則n＝(－m,0，－1)，又＝(0,2，－m)，

直線B1C與平面BCP所成角正弦值為，

∴＝，解之得m＝1

∴n＝(－1,0,1)

易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1)

cosα＝＝，設(shè)二面角的平面角為θ，則cosθ＝－，∴θ＝120°.