Question

12．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側面A₁B₁BA，且AA₁=AB=BC=2，則AC與平面A₁BC所成角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 證明AD⊥平面A₁BC，得出∠ACD即為直線AC與平面A₁BC所成的角，求出AC=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出結論．

解答 解：如圖，AB₁∩A₁B=D，連結CD，
∵AA₁=AB，∴AD⊥A₁B，
∵平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，
則CD是AC在平面A₁BC內的射影，
∴∠ACD即為直線AC與平面A₁BC所成的角，
又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC，
因為三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB?側面A₁ABB₁，故AB⊥BC
∵AA₁=AB=BC=2，∴AC=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴sin∠ACD=$\frac{1}{2}$，∴∠ACD=$\frac{π}{6}$，
故選A．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查計算能力以及邏輯推理能力．