Question

20、設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：①元素都是正整數(shù)；②若x∈S，則10-x∈S．
（1）請(qǐng)你寫出符合條件，且分別含有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)元素的集合S各一個(gè)；
（2）是否存在恰有6個(gè)元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）由（1）、（2）的解答過程啟發(fā)我們，可以得出哪些關(guān)于集合S的一般性結(jié)論（要求至少寫出兩個(gè)結(jié)論）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：①元素都是正整數(shù)；②若x∈S，則10-x∈S．知：元素只有一個(gè)時(shí)，即x=10-x，即x=5；元素有二個(gè)時(shí)，即兩個(gè)正數(shù)的和為10；元素有三個(gè)時(shí)，必有一個(gè)元素5，另外兩個(gè)正數(shù)的和為10
（2）6個(gè)元素的集合S，元素必須要是1，9；2，8；3，7；4，6；中任意選三對(duì)
（3））①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，則s中的元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
若5∉s，則s中的元素個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)；
③符合題意的S共有31個(gè)

解答：解：（1）一個(gè)：5
    二個(gè)：1，9等
    三個(gè)：1，5，9等
（2）存在．一共有四個(gè)
S=1，2，3，7，8，9或S=1，2，4，6，8，9或S=1，3，4，6，7，9或S=2，3，4，6，7，8
（3）①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，則s中的元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
若5∉s，則s中的元素個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)；
③符合題意的S共有31個(gè)．等等

點(diǎn)評(píng)：本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，對(duì)知識(shí)的總結(jié)能力，屬于基礎(chǔ)題．