Question

已知平面α外一點P，PA⊥α，A為垂足，B，C均在平面α內，∠BAC=120°，PA=AB，求PB與AC所成角的大�。�

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：如圖所示，設＜

BP

，

AC

＞=θ．不妨設PA=AB=AC=1，由∠BAC=120°，可得BC=

3

．由PA⊥α，可得

PA

•

AC

=0.|

PB

|=

2

．利用數(shù)量積運算可得：

BP

•

PA

=-

PA

2=-1，

BP

•

AC

=

2

×1×cosθ=

2

cosθ．根據(jù)

BC

=

BP

+

PA

+

AC

，利用數(shù)量積運算性質即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設＜

BP

，

AC

＞=θ．
不妨設PA=AB=AC=1，
∵∠BAC=120°，
∴BC=

3

．
∵PA⊥α，
∴

PA

•

AC

=0.|

PB

|=

2

．

BP

•

PA

=-

PA

2=-1，

BP

•

AC

=

2

×1×cosθ=

2

cosθ．
∵

BC

=

BP

+

PA

+

AC

，
∴

BC

2=

BP

2+

PA

2+

AC

2+2

BP

•

PA

+2

BP

•

AC

+2

PA

•

AC

．
∴3=2+1+1-2+2

2

cosθ+0，
化為cosθ=

2

4

．
∴PB與AC所成角的大小為arccos

2

4

．

點評：本題考查了利用數(shù)量積運算求空間角、線面垂直的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．