如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是等邊三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，EF＝FB．

　　（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；

　�。á颍┣�BD與平面ADF所成角的大��；

　　（Ⅲ）求平面ADF與平面ABC所成較小二面角的大小．

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)FG，GC，因?yàn)?i>FG//EA//DC，FG＝EA，所以，四邊形FGCD是平行四邊形，所以FD//GC，FD平面ABC，GC平面ABC，所以FD//平面ABC．

　 （Ⅱ）因?yàn)?i>AE＝AB，所以F是EB中點(diǎn)，所以AFEB，又BD＝，在直角梯形EACD中易求得ED＝，所以DFEB．AF與DF交于F，所以EB平面ADF，BD與平面ADF所成角為BDE，EB＝，BF＝，BD＝，所以，所以BD與平面ADF所成角為．

　 （Ⅲ）作平面ADF與平面ABC的交線AM．由（1）FD//平面ABC，所以FD//AM，又GC//FD，所以GC//AM．因?yàn)?img align="absmiddle" width=45 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0117/0050/a8813b6f551567b5123ef86546b70cf9/C/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1041">等邊，所以GCAB，又EA平面ABC，所以EA⊥GC，，所以平面EAB，GCFA，于是AMFA，AMAB，所以是平面AFD與平面ABC所成較小二面角的平面角，FAB＝，所求二面角為．

 


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（2013•青島一模）如圖，幾何體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=
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a，E為CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，幾何體ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為EB何AB的中點(diǎn)．
（1）求證：FD∥平面ABC；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•青島一模）如圖，幾何體ABCD-B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=
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a，E為CC1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求證：AC∥面DB1E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖北省黃岡市黃州區(qū)菱湖高中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，幾何體ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)、G分別為EB何AB的中點(diǎn)．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

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如圖，幾何體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且，E為CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△DB1E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．

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