Question

如圖，函數(shù)y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求

PM

與

PN

的夾角．

Answer 1

分析：（1）求正弦型函數(shù)的φ值，我們可以在函數(shù)圖象尋找一點(diǎn)的坐標(biāo)（一般是最值點(diǎn)的坐標(biāo)），代入函數(shù)的解析式，構(gòu)造關(guān)于φ的三角方程，結(jié)合φ的取值范圍，解方程即可得到φ的值．
（2）由（1）的結(jié)論我們不難得到函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式，我們易得P，M，N三點(diǎn)坐標(biāo)，及相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，即可得到兩個(gè)向量的夾角．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，1）
所以2sinx=1，即sinx=

1

2

?
因?yàn)?span id="gpq4ltv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0≤l≤

π

2

所以l=

π

6

．

（Ⅱ）由函數(shù)y=2sin(πx+

π

6

)及其圖象，
得M(-

1

6

，0)，P(

1

3

，2)，N(

5

6

，0)，
所以

PM

=(-

1

2

，-2，)

PN

=(

1

2

，-2)
從而cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM •| PN ||

=

15

17

故＜

PM

，

PN

＞=arccos

15

17

．

點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)圖象求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定φ，但由圖象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一．