Question

（理）已知函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：a=1時(shí)，對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

5

2

；
（3）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，即函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）將a=1代入可得函數(shù)f（x）解析式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-

5

2

x，分析函數(shù)g（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論；
（3）構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），利用導(dǎo)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到使不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立的最小的正整數(shù)N．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，
∴f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
即2x²+2x+a=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，…（2分）
設(shè)F（x）=2x²+2x+a，則

△=4-8a＞0 F(-1)＞0

，
解之得0＜a＜

1

2

；             …（4分）
證明：（2）a=1時(shí)，f（x）=x²+ln（x+1），
令g(x)=f(x)-

5

2

x=x2+ln(x+1)-

5

2

x(x≥1)，…（6分）
則g′(x)=2x+

1

x+1

-

5

2

=

4x2-x-3

2(x+1)

=

(4x+3)(x-1)

2(x+1)

，
當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）≥0，所以函數(shù)g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．              …（8分）
由已知，不妨設(shè)1≤x₁＜x₂＜+∞，則g（x₁）＜g（x₂），
所以f(x1)-

5

2

x1＜f(x2)-

5

2

x2，即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

5

2

；                 …（10分）
（3）令函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），…（12分）
則h′(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．            …（14分）
又h（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＞x²-x³恒成立．
取x=

1

n

∈(0，+∞)，則有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立，
故存在最小的正整數(shù)N=1，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，構(gòu)造合適的函數(shù)是解答的關(guān)鍵．