Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，且AB=

2

，BC=1，E，F分別為AB，PC中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

分析：（1）方法一：取線段PD的中點M，連接FM，AM．證明EA∥CD，EF∥AM．然后利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD．
方法二：連接CE并延長交DA的延長線于N，連接PN．證明EF∥NP，然后利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD．     
方法三：取CD的中點Q，連接FQ，EQ．通過證明平面EQF∥平面PAD，證明EF∥平面PAD． 
（2）設AC，DE相交于G．證明∠DGC=90°．推出DE⊥AC．利用平面PAC⊥平面ABCD，證明DE⊥平面PAC，然后證明平面PAC⊥平面PDE．

解答：證明：（1）方法一：取線段PD的中點M，連接FM，AM．
因為F為PC的中點，所以FM∥CD，且FM=

1

2

CD．
因為四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，
所以EA∥CD，且EA=

1

2

CD．
所以FM∥EA，且FM=EA．
所以四邊形AEFM為平行四邊形．
所以EF∥AM．            …（5分）
又AM?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．  …（2分）
方法二：連接CE并延長交DA的延長線于N，連接PN．
因為四邊形ABCD為矩形，所以AD∥BC，
所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE．
又AE=EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE=NE．
又F為PC的中點，所以EF∥NP．…（5分）
又NP?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．              …（2分）
方法三：取CD的中點Q，連接FQ，EQ．
在矩形ABCD中，E為AB的中點，所以AE=DQ，且AE∥DQ．
所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ∥AD．
又AD?平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．         …（2分）
因為Q，F分別為CD，CP的中點，所以FQ∥PD．
又PD?平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．
又FQ，EQ?平面EQF，FQ∩EQ=Q，所以平面EQF∥平面PAD．…（3分）
因為EF?平面EQF，所以EF∥平面PAD．      …（2分）
（2）設AC，DE相交于G．
在矩形ABCD中，因為AB=

2

BC，E為AB的中點．所以

DA

AE

=

CD

DA

=

2

．
又∠DAE=∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE=∠DCA．
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，所以∠DCA+∠CDE=90°．
由△DGC的內角和為180°，得∠DGC=90°．即DE⊥AC．  …（2分）
因為平面PAC⊥平面ABCD
因為DE?平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，…（3分）
又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． …（2分）
說明：第一問，方法1和2，下結論時：不交代平面外一條直線與平面內一條直線平行，一律扣（2分）；方法3，直接由線線平行→面面平行，扣（3分）；
第二問，不用平幾證明DE⊥AC，扣（2分）；

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，證明直線與平面平行的基本方法，平行與平面垂直的證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．