Question

4．已知（2x+$\sqrt{3}$）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，若a=（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²，則${∫}_{0}^{2a}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=π．

Answer 1

分析 在所給的等式中，分別令x=1，x=-1，可得2個(gè)等式，再根據(jù)所得的2個(gè)等式求出a，根據(jù)定積分的幾何意義求出要求式子的值．

解答 解：在等式（2x+$\sqrt{3}$）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=（2+$\sqrt{3}$）⁴，
再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=（-2+$\sqrt{3}$）⁴，
故a=（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=1，
則${∫}_{0}^{2a}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=π，
故答案為：π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．