Question

已知P（x，y）為函數y=1+lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）若函數f（x）在區(qū)間（m＞0）上存在極值，求實數m的取值范圍；
（II）當 x≥1時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍；
（III）求證[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由斜率公式求出k=f（x），求出導數f′（x），根據導數符號可判斷f（x）的極值情況，要使函數f（x）在區(qū)間（其中m＞0）上存在極值，須有極值點在該區(qū)間內，從而得不等式組，解出即可；
（Ⅱ）由得，令，則問題轉化為求函數g（x）的最小值問題，利用導數研究函數g（x）的單調性，由單調性即可求得其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知恒成立，即 ，令x=n（n+1），則，
令n=1，2，3，…，n可得n個不等式，相加用裂項法化簡后再變形即可得到結論；
解答：解：（Ⅰ）由題意，x＞0，
所以，
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數f（x）在區(qū)間（其中m＞0）上存在極值，
所以，解得．
故實數m的取值范圍是．
（Ⅱ）由得，
令，則．
令h（x）=x-lnx，則，
因為x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調遞增．
所以h（x）≥h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調遞增，g（x）≥g（1）=2，
所以實數t的取值范圍是（-∞，2]．
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知恒成立，
即 ，
令x=n（n+1），則，
所以，，…，．
以上各式相加，=，
所以1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值，考查恒成立問題及不等式的證明，恒成立問題往往轉化為求函數最值，解決本題（Ⅲ）問的關鍵是利用（Ⅱ）結論構造不等式．