Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱CC₁，A₁D₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BF∥平面AED₁；
（2）P為BF上異于F的任意一點(diǎn)，求證：PF⊥AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）先取AA₁中點(diǎn)G，連接FG，BG，則有FG∥AD₁，BG∥ED₁；進(jìn)而得到平面BFG∥平面AED₁，即可證明結(jié)論；
（2）先連接BD，F(xiàn)D，根據(jù)BD⊥平面ACE⇒BD⊥AE；再取D₁D中點(diǎn)H，證明AE⊥平面BFD，即可得到想要證明的結(jié)論．
解答：證明：（1）取AA₁中點(diǎn)G，連接FG，BG，則有FG∥AD₁，BG∥ED₁
又BG∩FG=G，∴平面BFG∥平面AED₁，BF?平面BFG，
∴BF∥平面AED₁．
（2）連接BD，F(xiàn)D，則BD⊥AC，BD⊥EC，EC∩AC=C，
∴BD⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BD⊥AE．
取D₁D中點(diǎn)H，連接AH，EH，可得FD⊥AH，F(xiàn)D⊥EH，EH∩AH=H，⇒FD⊥平面AEH．
AE?平面AEH，∴AE⊥FD，BD∩FD=D，
∴AE⊥平面BFD，BF?平面BFD，
∴AE⊥BF，P為BF上任一點(diǎn)，
∴AE⊥PF．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行以及線線垂直．在證明線線垂直時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直．