Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，，數(shù)列{b_n}滿足
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為{s_n}，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)目標(biāo)，可構(gòu)造數(shù)列，只需對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，首先證明n=2時(shí)命題成立．假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，再證明n=k+1時(shí)命題也成立
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，，將其平方，再疊加即可證明．
解答：解：（1）由題意，即
∴a_n=n•3^n-1-2…（4分）
（2）當(dāng)n=2時(shí)，即n=2時(shí)命題成立
假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，即
當(dāng)n=k+1時(shí)，
=即n=k+1時(shí)命題也成立
綜上，對(duì)于任意n≥2，…（8分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
平方則
疊加得
∴
∴…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)于不等式的證明由于與自然數(shù)有關(guān)，故通常可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．