Question

已知拋物線和．如果直線同時是和的切線，稱l是和的公切線，公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段．

(1)a取什么值時，和有且僅有一條公切線?寫出公切線方程；

(2)若和有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條切線互相平分．

(2003·天津)

Answer 1

答案：略
解析：

答案：(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點的切線方程是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點的切線方程是 如果直線l是過點P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程．所以消去得方程． 若判別式Δ=4－4×2(1＋a)=0時．即時，解得，此時P與Q重合，即當時，和有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為． (2)證明：由(1)知，當時，和有兩條公切線，設(shè)一條公切線上的切點為，，其中P在上，Q在上，則有． ， 線段PQ的中點坐標為． 同理，另一條公切線段的中點坐標也是， 所以公切線段PQ和互相平分．

提示：

解析：(1)分別求出拋物線和的切線方程、，由和有且僅有一條公切線知、重合，可求出a的值．(2)若兩條公切線互相平分，則兩公切線段的中點重合，問題轉(zhuǎn)化為求兩公切線段中點的坐標．