Question

（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．

求證：（1）直線EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證直線EF∥平面PCD，只需證EF和平面PCD內(nèi)的一條直線平行，在三角形PAD中易知EF∥PD得證；（2）要證面面垂直，只需證其中一個面BEF中的一條線垂直于另一平面PAD，根據(jù)已知條件知BF⊥AD，又有平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.

試題解析：（1）在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD.

又因為EF ?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.

連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．

因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．

因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

考點：1、線面平行的判定；2、面面垂直的判定.