Question

集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f （x）組成的：①函數(shù)f （x）的定義域是[0，+∞）；②函數(shù)f（x）的值域是[-2，4）；③函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．試分別探究下列兩小題：
（1）判斷函數(shù)，及是否屬于集合A，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（2）對(duì)于（1）中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否對(duì)于任意的x≥0總成立？若不成立，說(shuō)明理由？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得函數(shù)的值域[-2，+∞），從而可得f₁（x）∉A，對(duì)于f₂（x），只要分別判斷函數(shù)定義域是否滿(mǎn)足條件①．值域是否滿(mǎn)足條件②，單調(diào)性是否滿(mǎn)足條件③，即可得答案；
（2）由（1）知，f₂（x）屬于集合A．原不等式為，通過(guò)整理不等式可判斷．
解答：解：（1）∵函數(shù)的值域[-2，+∞）
∴f₁（x）∉A
對(duì)于f₂（x），定義域?yàn)閇0，+∞），滿(mǎn)足條件①．而由x≥0知，
∴，滿(mǎn)足條件②
又∵，
∴在[0，+∞）上是減函數(shù)．
∴f₂（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，滿(mǎn)足條件③
∴f₂（x）屬于集合A．
（2）由（1）知，f₂（x）屬于集合A．
∴原不等式為
整理為：．
∵對(duì)任意，
∴原不等式對(duì)任意x≥0總成立
點(diǎn)評(píng)：本題目以新定義為載體主要綜合考查了函數(shù)的定義域、值域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解及判斷，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．