若函數(shù)y=f(x)對一切實數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x),且方程f(x)=0恰有4個不同實根,求這些實根之和.

解:由f(2+x)=f(2-x)知f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱.設(shè)方程f(x)=0的4個實根從小到大依次為x1、x2、x3、x4,則點P1(x1,0)、P2(x2,0)、P3(x3,0)、P4(x4,0)從左至右分布在y=f(x)的圖象上,且P1與P4,P2與P3分別關(guān)于直線x=2對稱,故有x1+x4=4且x2+x3=4.

    ∴四根之和為8.

講評:注意運用“若f(a-x)=f(a+x),則f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱”的結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分) 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=的周期為,

且對一切xR,都有f(x) ;

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; 

(2)若g(x)=f(),求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(3) 若函數(shù)y=f(x)-3的圖象按向量=(m,n) (|m|<)平移后得到一個奇函數(shù)的圖象,求實數(shù)m、n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省黃岡市浠水縣高三9月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

(13分)定義在R上的增函數(shù)y=f(x)對任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y),則

(1)求f(0)        (2) 證明:f(x)為奇函數(shù)

 (3)若對任意恒成立,求實數(shù)k的取值范圍

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分16分)設(shè)函數(shù)y=f(x)對任意實數(shù)x,都有f(x)=2f(x+1),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x2(1-x).

(Ⅰ)已知n∈N+,當(dāng)x∈[n,n+1]時,求y=f(x)的解析式;

(Ⅱ)求證:對于任意的n∈N+,當(dāng)x∈[n,n+1]時,都有|f(x)|≤;

(Ⅲ)對于函數(shù)y=f(x)(x∈[0,+∞,若在它的圖象上存在點P,使經(jīng)過點P的切線與直線x+y=1平行,那么這樣點有多少個?并說明理由

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)y=f(x)對其定義域內(nèi)的任意x,都有|f(-x)|=|f(x)|,但是y=f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)可以是____________.(寫出一個即可)

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