Question

已知橢圓C：的短軸的端點(diǎn)分別為A，B，直線AM，BM分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M （m，） 滿足m≠0，且．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率計算公式；
（Ⅱ）利用點(diǎn)斜式分別寫出直線AM、BM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）利用三角形的面積公式及其關(guān)系得到，再利用坐標(biāo)表示出即可得到m的值．
解答：解：（Ⅰ）依題意知a=2，，∴；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k₁=，直線BM斜率為k₂=，
∴直線AM的方程為y=，直線BM的方程為y=，
由得（m²+1）x²-4mx=0，
∴，∴，
由得（9+m²）x²-12mx=0，
∴，∴；                
（Ⅲ）∵，，∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴，
∴，
∵m≠0，∴整理方程得，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵，∴m²-3≠0，∴m²=1，∴m=±1為所求．
點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的離心率、點(diǎn)斜式、直線與橢圓的相交問題的解題模式、三角形的面積計算公式、比例式如何用坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵．