Question

已知函數(shù)，x=2是f（x）的一個極值點．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當x∈[1，+∞）時，恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數(shù)，可得f'（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一個極值點
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∴當x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=，------------------（10分）
x∈[1，+∞）時，恒成立等價于-----------（12分）
即a²-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）
分析：（1）求導函數(shù)，利用x=2是f（x）的一個極值點，可得f'（2），從而可求b的值，進而利用f'（x）＞0可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，f'（x）＜0可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）x∈[1，+∞）時，恒成立等價于，由此可求a的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，確定函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題利用分離參數(shù)法求解．