Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立如圖坐標(biāo)系，可得C（2，4），D（-2，4），P（2cosα，2sinα），得到、坐標(biāo)，用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)，得=16-16sinα，再結(jié)合α∈[0，π]，不難得到的取值范圍．
解答：解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立如圖坐標(biāo)系
則圓弧APB方程為x²+y²=4，（y≥0），C（2，4），D（-2，4）
因此設(shè)P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]
∴=（2-2cosα，4-2sinα），=（-2-2cosα，4-2sinα），
由此可得=（2-2cosα）（-2-2cosα）+（4-2sinα）（4-2sinα）
=4cos²α-4+16-16sinα+4sin²α=16-16sinα
化簡(jiǎn)得=16-16sinα
∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]
∴當(dāng)α=0或π時(shí)，取最大值為16；當(dāng)α=時(shí)，取最小值為0．
由此可得的取值范圍是[0，16]
故答案為：[0，16]
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形內(nèi)半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和圓的參數(shù)方程等知識(shí)，屬于中檔題．