Question

2012·北京卷] 如圖1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如圖1－9(2)．

(1)求證：DE∥平面A₁CB；

(2)求證：A₁F⊥BE；

(3)線段A₁B上是否存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ？說明理由．

圖1－9

Answer 1

解：(1)證明：因為D，E分別為AC，AB的中點，

所以DE∥BC.

又因為DE⊄平面A₁CB，

所以DE∥平面A₁CB.

(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.

所以DE⊥A₁D，DE⊥CD，

所以DE⊥平面A₁DC.

而A₁F⊂平面A₁DC，

所以DE⊥A₁F.

又因為A₁F⊥CD，

所以A₁F⊥平面BCDE，

所以A₁F⊥BE.

(3)線段A₁B上存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ.

理由如下：

如下圖，分別取A₁C，A₁B的中點P，Q，

則PQ∥BC.

又因為DE∥BC，

所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即為平面DEP，

由(2)知，DE⊥平面A₁DC，

所以DE⊥A₁C.

又因為P是等腰三角形DA₁C底邊A₁C的中點，

所以A₁C⊥DP.

所以A₁C⊥平面DEP.

從而A₁C⊥平面DEQ.

故線段A₁B上存在點Q，使得A₁C⊥平面DEQ.