2012·北京卷] 如圖1-9(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為ACAB的中點,點F為線段CD上的一點,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1FCD,如圖1-9(2).

(1)求證:DE∥平面A1CB;

(2)求證:A1FBE;

(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.

圖1-9

解:(1)證明:因為DE分別為AC,AB的中點,

所以DEBC.

又因為DE⊄平面A1CB,

所以DE∥平面A1CB.

(2)證明:由已知得ACBCDEBC,

所以DEAC.

所以DEA1D,DECD

所以DE⊥平面A1DC.

A1F⊂平面A1DC,

所以DEA1F.

又因為A1FCD

所以A1F⊥平面BCDE,

所以A1FBE.

(3)線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ.

理由如下:

如下圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q

PQBC.

又因為DEBC,

所以DEPQ.

所以平面DEQ即為平面DEP

由(2)知,DE⊥平面A1DC

所以DEA1C.

又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點,

所以A1CDP.

所以A1C⊥平面DEP.

從而A1C⊥平面DEQ.

故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ.

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圖1-4

A.28+6 

B.30+6

C.56+12 

D.60+12

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