解:(Ⅰ)f′(x)=3(ax
2-1),x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,則f′(1)=0,
∴a-1=0,∴a=1.
又f'(x)=3(x+1)(x-1),函數(shù)f(x)在x=1兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,
∴a=1.…(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)=f(x)+f′(x)-6=x
3+3x
2-3x-9.
則g′(x)=3(x
2+2x-1),令g′(x)=0,得x
2+2x-1=0,∴
.
隨x的變化,g′(x)與g(x)的變化如下:
所以函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為
和
,單調(diào)減區(qū)間為
.…(8分)
(Ⅲ) f′(x)=3(x
2-1),設(shè)切點為T(x
0,y
0),則切線的斜率為
,…(9分)
整理得2x
3-3x
2+m+3=0,依題意,方程有3個根.…(10分)
設(shè)h(x)=2x
3-3x
2+m+3,則h′(x)=6x
2-6x=6x(x-1).
令h′(x)=0,得x
1=0,x
2=1,則h(x)在區(qū)間(-∞,0),[1,+∞)上單調(diào)遞增,
在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.…(11分)
因此,
,解得-3<m<-2.所以m的取值范圍為(-3,-2).…(14分)
分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用f′(1)=0,求出a的值;
(Ⅱ)通過函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x)-6,x∈R,求出g(x)的表達式,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)為0,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ) 利用 f′(x)=3(x
2-1),設(shè)切點為T(x
0,y
0),則切線的斜率相等,方程有3個解,就是函數(shù)有2個極值點,并且極大值大于0,極小值小于0,即可求m的取值范圍.
點評:本題是難題,考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,極值的處理方法,切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值的關(guān)系,考查邏輯推理能力,分析問題解決問題的能力,計算量大,考查函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化思想,?碱}型.