Question

設(shè)函數(shù)f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；

（2）是否存在一次函數(shù)h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對(duì)一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說明理由：

3）數(shù)列{}中，a₁＝1，＝g（）（n≥2），求證：＜＜＜1且＜．

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值0；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）假設(shè)存在，，，然后利用導(dǎo)數(shù)求出最小值判斷即可；（3）先證遞減且由（2）知時(shí)，又在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，總有，即也成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

試題解析：（1）

易知時(shí)，時(shí)

所以在上遞減，而在上遞增                   2分

故時(shí)，取最小值0                          3分

（2）由（1）可知，

所以若存在一次函數(shù)使得

且總成立，則，即；

所以可設(shè)，代入得恒成立，

所以，所以，，

此時(shí)設(shè)，則，

易知在上遞減，在上遞增，

所以，即對(duì)一切恒成立；

綜上，存在一次函數(shù)符合題目要求                          6分

（3）先證遞減且

由（2）知時(shí)，又在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，

總有，即也成立

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014033004050202954057/SYS201403300405368107833106_DA.files/image042.png">，所以成立；

（2）假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即

由于時(shí)，，又在上遞增，

則，即也成立

由（1）（2）知，恒成立；而時(shí)

所以遞減

綜上所述                          9分

所以

                          12分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、函數(shù)構(gòu)造、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性.