Question

已知函數(shù)f（x）=3^x-b（2≤x≤4）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），則F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域?yàn)?!--BA-->

[2，5]

．

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=3^x-b（2≤x≤4）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），可求得b值，從而得到f（x）的解析式，根據(jù)f（x）的值域可得f^-1（x）的定義域，進(jìn)而可求得F（x）的定義域，F(xiàn)（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=(log3x+2)2-（log3x2+2）=(log3x+1)2+1，由log₃x∈[0，1]，即可求得F（x）的值域．

解答：解：由函數(shù)f（x）=3^x-b（2≤x≤4）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），得3^2-b=1，解得b=2．
則f（x）=3^x-2，f^-1（x）=log₃x+2，
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=(log3x+2)2-（log3x2+2）=(log3x+1)2+1，
由2≤x≤4得，f（x）∈[1，9]．所以f^-1（x）的定義域?yàn)閇1，9]，
由

1≤x≤9 1≤x2≤9

，解得1≤x≤3，
所以F（x）的定義域?yàn)閇1，3]．
則log₃x∈[0，1]，1≤(log3x+1)2≤4，2≤F（x）≤5．
所以函數(shù)F（x）的值域?yàn)閇2，5]．
故答案為：[2，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)的值域問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．