Question

設圓C₁：x²+y²=5與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限內的交點為R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）若P在拋物線C₂在兩點O，R之間的部分運動，其中O為坐標原點，直線l過點P且與拋物線C₂只有一個公共點，l與圓C₁相交于兩點A，B，求△OAB的面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用圓C₁：x²+y²=5與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限內的交點為R（2，m），即可求m的值及拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，可得點O到直線l的距離d，確定d的范圍，進而表示出面積，即可求出△OAB的面積的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓C₁：x²+y²=5與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）在第一象限內的交點為R（2，m），
∴4+m²=5，
∵m＞0，
∴m=1，
（2，1）代入x²=2py，可得p=2，
∴拋物線C₂的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設P（x₀，

1

4

x02）（0＜x₀＜2），則
由y=

1

4

x²，可得y′=

1

2

x，
∴直線l的斜率k=

1

2

x0，
∴直線l的方程為y-

1

4

x02=

1

2

x0（x-x₀），即2x₀x-4y-x02=0，
∵點O到直線l的距離為d=

1

2

1 1 x02 + 4 x04

，
∵f（x）=

1

2

1 1 x02 + 4 x04

在（0，2）上遞增，
∴0＜d＜

2

2

∵S_△OAB=

1

2

|AB|d=

5-d2

•d=

-(d2- 5 2 )2+ 25 4

∴0＜S_△OAB＜

3

2

．

點評：本題考查拋物線方程，考查拋物線的切線方程，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．