Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f（x-2）=-f（x）．當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，則下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2-x）³：
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)； ④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱(chēng)．
其中正確的命題序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及f（x-2）=-f（x）可求出函數(shù)的周期，從而判定真假，對(duì)于②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，則x-2∈∈[-1，1]，可求出x∈[1，3]時(shí)函數(shù)解析式，從而判定真假；對(duì)于③根據(jù)f（x-2）=-f（x），可得f（1+x）=f（1-x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，從而判定真假；對(duì)于④根據(jù)條件可證函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱(chēng)，從而確定④的真假．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確．
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正確．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，故③正確．
∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱(chēng)．故④不正確
故正確的命題有  ①②③，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，以及運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)解析式及函數(shù)值、函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．