已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2（x+b）e2，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，求b的取值范圍．

解：f′（x）=ex（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，
則△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8＞0，
于是，假設(shè)x1，x2是g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，且x1＜x2．
（1）當(dāng)x1=a或x2=a時(shí)，則x=a不是f（x）的極值點(diǎn)，此時(shí)不合題意．
（2）當(dāng)x1≠a且x2≠a時(shí)，由于x=a是f（x）的極大值點(diǎn)，故x1＜a＜x2．
即g（a）＜0
即a2+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0
所以b＜-a
所以b的取值范圍是：（-∞，-a）
分析：先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ex（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，討論g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根x1，x2是否為a，從而確定x=a是否是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，建立不等關(guān)系即可求出b的范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識．
練習(xí)冊系列答案
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22、已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2（x+b）e2，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a是給定的實(shí)常數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．
（1）求b的取值范圍．
（2）設(shè)x1，x2，x3是f（x）的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某種排xxi1，xi2，xi3，xi4（其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4}）依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的x4；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江 題型：解答題

已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2（x+b）e2，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，求b的取值范圍．

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已知a是給定的實(shí)常數(shù)．設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2(x+b)ex，b∈R，x=a是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，
(Ⅰ)求b的取值范圍；
(Ⅱ)設(shè)x1，x2，x3是f(x)的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某種排列(其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4})依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的x4；若不存在，說明理由．

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